Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ par $x - 34$ .

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x - 34$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à ${(x - 34)}^{3}$ et $x - 34$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x - 34$ à partir de ${(x - 34)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

Étape 1.3.2.4

Divisez ${(x - 34)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x - 34}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

Étape 2.2.3

Laissez $u = x - 34$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = x - 34$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $x - 34$ .

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

Étape 2.2.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 34$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

Étape 2.2.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

Étape 2.2.3.1.4

Comme $- 34$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 34$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 34$ .

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x - 34)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x - 34)}^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 34}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x - 34}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x - 34}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x - 34}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x - 34}$ par $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x - 34$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x - 34$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x - 34)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ par $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.4.2

Élevez $x - 34$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.4.3

Élevez $x - 34$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 34$ à gauche de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x - 34$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $x - 34$ à partir de ${(x - 34)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Étape 3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

Étape 7.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

Étape 7.4

Simplifiez

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x - 34}$ et $y$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x - 34$ .

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 34$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Développez $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{2} x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.1.1.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.3

Déplacez $- 17$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.5

Multipliez $- 34$ par $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

Étape 8.4.2.1.2.1.6

Déplacez $- 34$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Étape 8.4.2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Soustrayez $34 x^{2}$ de $- 17 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 8.4.2.1.2.2.2.1

Déplacez $1156 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

Étape 8.4.2.1.2.2.2.2

Déplacez $- 51 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$