Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x}$ for $y = x^{21}$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ par $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{21}}{y}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = x^{21}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = x^{21} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int x^{21} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{21} d x$

Étape 3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{21}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{22} x^{22}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{22} x^{22} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{22} x^{22} + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{22}$ et $x^{22}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{22}}{22} + K)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{22} + 2 K$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 (11)} + 2 K$

Étape 4.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 \cdot 11} + 2 K$

Étape 4.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{x^{22}}{11} + 2 K$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$ .

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Étape 4.4.1

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K \cdot \frac{11}{11}}$

Étape 4.4.2

Associez $2 K$ et $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + \frac{2 K \cdot 11}{11}}$

Étape 4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 2 K \cdot 11}{11}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $11$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$

Étape 4.4.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$

Étape 4.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Étape 4.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Étape 4.4.7.2

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Étape 4.4.7.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Étape 4.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 4.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 4.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Étape 4.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11}$

Étape 4.4.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$

Étape 4.4.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$