Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- \frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{e^{x}}{y}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.4.3

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $- 2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $y - \frac{e^{x}}{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y - \frac{e^{x}}{y}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y - \frac{e^{x}}{y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $e^{x} + y^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $e^{x} + y^{2}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $y$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Associez.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{x}}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.5.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.5.5

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.6

Factorisez $y$ à partir de $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Étape 4.3.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun à $- y^{2} - e^{x}$ et $e^{x} + y^{2}$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.7.4

Réécrivez $- (y^{2} + e^{x})$ comme $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Étape 4.3.7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Étape 4.3.7.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Étape 4.3.7.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.8

Remplacez $M$ par $e^{x} + y^{2}$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $e^{x} + y^{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $e^{x} + y^{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Pour écrire $x y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.4

Pour écrire $- 2 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.5

Associez $- 2 y^{2}$ et $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.7

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.7.1

Déplacez $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.7.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 6.5.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.5.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Étape 6.7.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Étape 6.7.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Étape 6.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Étape 6.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Étape 8.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Étape 8.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Étape 8.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Étape 8.3.2.5

Divisez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Étape 8.4

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Étape 8.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Étape 8.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{e^{x}}{y}$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.6.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 11.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Simplifiez

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Étape 12.1.1.3.2.1

Multipliez $- - e^{x}$ .

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Étape 12.1.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

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Étape 12.1.1.5.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2

Divisez $- x + 2 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Étape 12.1.1.6

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

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Étape 12.1.1.6.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Étape 12.1.1.6.2

Additionnez $\frac{d g}{d y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Étape 13.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Étape 13.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$