Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Étape 2.2

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y$ .

$2 y = 3 y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = 3 y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $3 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $3 x y$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{3 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y - 1 \cdot 3 y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y (2 - 3)}{3 x y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3 x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 x} d x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- \frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| x |))} + C$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Étape 5.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Étape 5.5.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Étape 5.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Étape 5.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $3 x y$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 6.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Associez $x$ et $\frac{3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Étape 6.4.3

Associez $y$ et $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Étape 6.5

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x \cdot 3) x^{- \frac{1}{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x^{1} \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + 1} \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.6.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Étape 6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 y x^{\frac{2}{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y x^{\frac{2}{3}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 3 y x^{\frac{2}{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $3 x^{\frac{2}{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 x^{\frac{2}{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $x^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $3$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.5

Associez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{3 y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.10

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.11

Multipliez $\frac{3 y^{2}}{2}$ par $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 y^{2} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.14

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.15

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.3.16

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 12.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.1.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.1.3.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.1

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.2.2.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{3}} x^{2}) = 0$

Étape 12.1.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.2.2.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $x^{\frac{5}{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{\frac{5}{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{3}{8}$ et $x^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$