Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $2 \frac{5 x^{3}}{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Associez $2$ et $\frac{5 x^{3}}{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.2.1

Pour écrire $6 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.2

Associez $6 x$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.3.2.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ .

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Étape 3.5.4.3.2.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.5

Pour écrire $2 C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.6

Associez $2 C$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.3.2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ .

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Étape 3.5.4.3.2.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (5 x^{2} + 9)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 C \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.4

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.3.2.8.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.5.4.3.2.8.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2.8.6

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$