Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt[5]{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = k \sqrt[5]{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $t$ , placez $k$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = k \int \sqrt[5]{t} d t$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{t}$ comme $t^{\frac{1}{5}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{5}} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{5}}$ par rapport à $t$ est $\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$ comme $k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Associez $k$ et $\frac{5}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $k$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot k}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Associez $\frac{5 k}{6}$ et $t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 k t^{\frac{6}{5}}}{6} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{5}{6} k t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + K$