Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 4)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 4))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x (x + 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 4)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 4$

Étape 1.2.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 4$

Étape 1.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 4 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 4 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ comme $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$