Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Étape 4.5

Simplifiez

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez $v^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.14

Placez $v^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Étape 4.17

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Étape 4.18

Multipliez $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Étape 4.19

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{2}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Étape 6.1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.1.1.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Étape 6.1.1.1.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Étape 6.1.1.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Étape 6.1.1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d v}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Ajoutez $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.1.2.2

Ajoutez $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Étape 6.1.1.3.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Étape 6.1.1.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Étape 6.1.1.3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ comme $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.4

Multipliez les deux côtés par $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.5.1.1

Simplifiez $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Étape 6.1.1.5.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.5.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.1.1.3

Annulez le facteur commun de $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.1.1.5.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.5.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Étape 6.1.1.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Factorisez $v^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Factorisez $v^{\frac{3}{2}}$ à partir de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Étape 6.1.1.5.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Étape 6.1.1.5.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.5.2.1.2.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Étape 6.1.1.5.2.1.2.2

Simplifiez

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v - 2$ .

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Étape 6.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Étape 6.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Étape 6.1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ par $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun à $- 2 v - 2$ et $2$ .

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Étape 6.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Étape 6.1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Étape 6.1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Étape 6.1.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Étape 6.1.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Étape 6.1.3.4

Annulez le facteur commun de $- v - 1$ .

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Étape 6.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Étape 6.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u_{2} = - 2 v - 2$ . Alors $d u_{2} = - 2 d v$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u_{2} = - 2 v - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 v - 2$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2 v$ par rapport à $v$ est $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $v$ est $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Étape 6.2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| - 2 v - 2 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| - 2 v - 2 |)$ par $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Étape 6.3.5

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.5.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Étape 6.3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.3.1.2

Divisez $2$ par $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Étape 6.3.5.4.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.3.5.4.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 6.3.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 6.3.5.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $e^{- 2 x + C}$ comme $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Étape 6.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Étape 6.4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$