Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x - y - 3) d x - (x + 4 y + 3) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x - y - 3$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y - 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + 0$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y + 3)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 4 y + 3)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 y + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.5

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$- 1 = - 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 1 = - 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x + 4 y + 3) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x + 4 y + 3 d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Étape 5.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y + \int 3 d y)$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 d y)$

Étape 5.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 y + C)$

Étape 5.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + 3 y + C)$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y - 3$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x y + 2 y^{2} + 3 y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 2 y^{2} + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.5

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.6

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.8

Additionnez $y$ et $0$ .

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.3.9

Additionnez $y$ et $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y - 3$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3 + y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x - y - 3 + y$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 - 3$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x - 3$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 3 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 3 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Étape 10.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = x^{2} - 3 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - 3 y + x^{2} - 3 x + C$