Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d N}{d t} = 400 + 600 \sqrt{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d N = (400 + 600 \sqrt{t}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d N = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$N + C_{1} = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$N + C_{1} = \int 400 d t + \int 600 \sqrt{t} d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + \int 600 \sqrt{t} d t$

Étape 2.3.3

Comme $600$ est constant par rapport à $t$ , placez $600$ en dehors de l’intégrale.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int \sqrt{t} d t$

Étape 2.3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$N + C_{1} = 400 t + 600 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $600$ et $\frac{2}{3}$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{600 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $600$ par $2$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{1200}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $1200$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $1200$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 (1)} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{400}{1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.4

Divisez $400$ par $1$ .

$N + C_{1} = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$N = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + K$