Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 + y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 + y$ à partir de $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 + y$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 + y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 3 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 3 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Étape 3.3.2

Simplifiez $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

Étape 3.3.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

Étape 3.3.2.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Étape 3.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.2.1

Divisez la fraction $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ en deux fractions.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Étape 3.3.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 3 C$ .

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Étape 3.3.4.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Étape 3.3.4.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Étape 3.3.4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$