Calcul infinitésimal Exemples

$d x - 4 x y^{3} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x y^{3} d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- 4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 \frac{1}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{- 4}{x} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 y^{3} d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 1$ .

$- 4 y^{3} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 y^{3} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 4 y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 \int y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1})$ comme $- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez

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Étape 4.2.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 4}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 4.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y^{4} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y^{4} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$- y^{4} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y^{4} = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{4}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{4}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{4} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.2

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$y^{4} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 5.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - C$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Étape 5.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Étape 5.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$