Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $x^{3}$ comme ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Étape 1.2.3

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.2.3.1

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{1 + u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Étape 1.2.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Étape 1.2.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Étape 1.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Étape 1.2.6.3

Multipliez $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ par $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Étape 1.2.7

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.2.7.1

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 1.2.7.1.1

Différenciez $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Étape 1.2.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 1.2.7.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 1.2.7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.2.7.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Étape 1.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Étape 1.2.9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 1.2.9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Étape 1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$1 + x^{3}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $1 + x^{3}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.3.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $1 + x^{3}$ par $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.6.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez

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Étape 2.2.6.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.6.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.7

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.8

Annulez le facteur commun de $1 - x + x^{2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.2.8.2

Divisez $3 x^{2} y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Étape 2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.4

Multipliez $1 + x^{3}$ par $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun de $1 - x + x^{2}$ .

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Étape 2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $(1 + x^{3}) y = x + C$ par $1 + x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x^{3}) y = x + C$ par $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{3}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.3.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.3.1.1.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1.1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.3.1.1.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Étape 7.3.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Étape 7.3.1.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Étape 7.3.1.2.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Étape 7.3.1.2.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$