Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 y + 3}$ .

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 y + 3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x + 5}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y + 3$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 4 x + 5$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 4 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y + 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| 4 x + 5 |)$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{4}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2}$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} = | 2 y + 3 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$ .

$| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y + 3 = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Étape 3.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} - 3$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ en deux fractions.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2} + \frac{4 C}{2}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.2.2.1

Réécrivez $\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ .

$2 y = \pm e^{\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.5.3.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 C$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 (1)}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 \cdot 1}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 C}{1}} - 3$

Étape 3.5.3.2.2.3.2.4

Divisez $2 C$ par $1$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3}{2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - 3}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ comme $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C} - 3}{2}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$