Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{6} e^{x^{7}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{6} e^{x^{7}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{7}}$ . Alors $d u_{2} = 7 x^{6} e^{x^{7}} d x$ , donc $\frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{x^{7}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{7}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $e^{x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{7}}]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{7}$ .

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Étape 2.3.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{7}$ .

$e^{x^{7}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$e^{x^{7}} (7 x^{6})$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{7}} (7 x^{6})$ .

$7 e^{x^{7}} x^{6}$

Étape 2.3.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 e^{x^{7}} x^{6}$ .

$7 x^{6} e^{x^{7}}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{7} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{7} u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{7}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + K$