Calcul infinitésimal Exemples

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 3 x + 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ comme $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

Étape 3.1.3.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1.3.5.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 K x$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (- 3 K x)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Étape 3.1.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 3.1.3.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ comme ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 - 3 K x - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

Étape 3.3.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 (3 x + 2)$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

Étape 3.3.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Étape 3.3.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Étape 3.3.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Étape 3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Étape 3.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Étape 3.3.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$