Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $0$ dans $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Étape 4.2.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Étape 4.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Étape 4.2.1.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $8$ par $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 1 - 3$ et $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Étape 4.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 4$

Étape 5

Remplacez $C$ par $4$ dans $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $4$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $8 \ln (| x |)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Étape 5.2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{8}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$