Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{2} + x + 1) d x + (\sin (y) + 2 \cos (y)) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(e^{2} + x + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(\sin (y) + 2 \cos (y)) d y = - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \sin (y) + 2 \cos (y) d y = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (y) d y + \int 2 \cos (y) d y = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int 2 \cos (y) d y = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (y) + C_{1} + 2 \int \cos (y) d y = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + 2 (\sin (y) + C_{2}) = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = \int - (e^{2} + x + 1) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- (e^{2} + x + 1)$ .

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = \int - e^{2} - x - 1 \cdot 1 d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = \int - e^{2} - x - 1 d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = \int - e^{2} d x + \int - x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x + C_{4} + \int - x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x + C_{4} - \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - x + C_{6}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x + C_{4} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - x + C_{6}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

$- \cos (y) + 2 \sin (y) + C_{3} = - e^{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{7}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \cos (y) + 2 \sin (y) = - e^{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \arctan (\frac{b}{a})$

Étape 3.2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\arctan (- \frac{1}{2})$

Étape 3.3

Évaluez $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$θ = - 0.4636476$

Étape 3.4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 3.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{4 + 1}$

Étape 3.4.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$R = \sqrt{5}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{5}) \sin (y - 0.4636476) = - e^{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{5} \sin (y - 0.4636476) = - e^{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ par $\sqrt{5}$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{5} \sin (y - 0.4636476) = - e^{2} x - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ par $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sin (y - 0.4636476)}{\sqrt{5}} = \frac{- e^{2} x}{\sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5} \sin (y - 0.4636476)}{\sqrt{5}} = \frac{- e^{2} x}{\sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $\sin (y - 0.4636476)$ par $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = \frac{- e^{2} x}{\sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x}{\sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.2

Multipliez $\frac{e^{2} x}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - (\frac{e^{2} x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}) + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.3.1.3.1

Multipliez $\frac{e^{2} x}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.6.3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5^{1}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} + \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}) + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.3.1.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.6.3.1.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.1.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.8

Multipliez $- \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Étape 3.6.3.1.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{5}$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{5 \cdot 2} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.8.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} + \frac{- x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x}{\sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.10

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - (\frac{x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}) + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.3.1.11.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.6.3.1.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.1.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5^{1}} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.12

Multipliez $\frac{K}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.13

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.3.1.13.1

Multipliez $\frac{K}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.13.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.6.3.1.13.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.6.3.1.13.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.3.1.13.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.6.3.1.13.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.6.3.1.13.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.3.1.13.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.3.1.13.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.3.1.13.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.1.13.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.3.1.13.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.6.3.1.13.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y - 0.4636476) = - \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5}$

Étape 3.7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y - 0.4636476 = \arcsin (- \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5})$

Étape 3.8

Ajoutez $0.4636476$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \arcsin (- \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + \frac{K \sqrt{5}}{5}) + 0.4636476$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \arcsin (- \frac{e^{2} x \sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5} x^{2}}{10} - \frac{x \sqrt{5}}{5} + K) + 0.4636476$