Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 2 x^{2} - 1$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 2 x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $5$ et $y$ par $4$ dans $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Étape 4.2.3

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$7^{1} + K = 4$

Étape 4.2.6

Évaluez l’exposant.

$7 + K = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - 7$

Étape 4.3.2

Soustrayez $7$ de $4$ .

$K = - 3$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 3$ dans $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 3$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$