Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4

Développez $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Étape 4.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Étape 4.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $\frac{8}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - \frac{8}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{8}{3}$ dans $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{8}{3}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$