Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $6$ à partir de $18 - 6 y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $3 - y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3 - y$ à partir de $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 3 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 3 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 6 \ln (| x |)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Étape 3.2.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{6}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Étape 3.3

Ajoutez $\ln (x^{6})$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $\ln (| 3 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Étape 3.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Étape 3.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ comme $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Étape 3.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Étape 3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Étape 3.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Étape 3.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Étape 3.10.2

Divisez chaque terme dans $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ par $x^{6}$ et simplifiez.

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Étape 3.10.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ par $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Étape 3.10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 3.10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Étape 3.10.2.2.1.2

Divisez $| 3 - y |$ par $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Étape 3.10.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Étape 3.10.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Étape 3.10.5

Divisez chaque terme dans $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.10.5.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.10.5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.10.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ comme $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.10.5.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$