Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ et $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 2.3.4

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Étape 2.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Évaluez $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Étape 4.2.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Étape 4.2.1.5

Divisez $0.0174524$ par $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $0.0043631$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 0.0043631$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 0.0043631$ dans $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 0.0043631$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$