Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $V$ à partir de $V \ln (V) - V$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Étape 6.1.2.2.2

Factorisez $V$ à partir de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Étape 6.1.2.2.3

Factorisez $V$ à partir de $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $V (\ln (V) - 1)$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u_{1} = \ln (V)$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , donc $V d u_{1} = d V$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u_{1} = \ln (V)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Étape 6.2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (V)$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u_{2} = u_{1} - 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u_{2} = u_{1} - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} - 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.2.2.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Étape 6.3.5

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Étape 6.3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 6.3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Étape 6.3.5.4

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Étape 6.3.5.4.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Étape 6.3.5.4.4

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Étape 6.3.5.4.5

Réécrivez $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Étape 6.3.5.4.6

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.5.4.6.1

Réécrivez l’équation comme $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Étape 6.3.5.4.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Étape 6.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = e^{C | x | + 1}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$