Calcul infinitésimal Exemples

$d x - (2 + x) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (2 + x) d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2 + x$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 + x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2 + x}$ et $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 2 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 2 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Divisez $\ln (| 2 + x |)$ par $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$