Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Étape 1

Laissez $v = f - c$ . Remplacez toutes les occurrences de $f - c$ par $v$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d t}$ en différenciant $f - c$ .

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f - c$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [f]$ comme $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Étape 2.3

Comme $- c$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- c$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Étape 2.4

Additionnez $f'$ et $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Étape 4

Séparez les variables.

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $v$ à partir de $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Étape 4.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Étape 5

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Étape 5.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Étape 5.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Étape 5.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Étape 6

Résolvez $v$ .

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Étape 6.1

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Étape 6.2

Réécrivez $\ln (| v |) = t y + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez l’équation comme $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Étape 6.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Étape 7

Regroupez les termes constants.

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Étape 7.1

Réécrivez $e^{t y + C}$ comme $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $e^{t y}$ et $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Étape 7.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C e^{t y}$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Étape 9

Ajoutez $c$ aux deux côtés de l’équation.

$f = C e^{t y} + c$