Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s v + s}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $s$ à partir de $s v + s$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $s$ à partir de $s v$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s}$

Étape 1.1.2

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s^{1}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $s$ à partir de $s^{1}$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s \cdot 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez $s$ à partir de $s (v) + s \cdot 1$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $v + 1$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) (\frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{s + 1}{s}$ par $\frac{1}{v + 1}$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $v + 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $v + 1$ à partir de $s (v + 1)$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$(v + 1) d v = \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int v + 1 d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int v d v + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + v + C_{2} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} + \frac{1}{s} d s$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $s$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int d s + \int \frac{1}{s} d s$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \int \frac{1}{s} d s$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{s}$ par rapport à $s$ est $\ln (| s |)$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \ln (| s |) + C_{5}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + \ln (| s |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v = s + \ln (| s |) + C$