Calcul infinitésimal Exemples

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d q}{d t}$ . Puis $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Remplacez $\frac{d q}{d t}$ par $v$ et $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ par $\frac{d v}{d t}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{d v}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $25 v$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $\frac{d v}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Étape 2.1.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 25 v)$ comme $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Étape 2.3.2

Associez $25$ et $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Étape 4

Résolvez $v$ .

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Étape 4.1

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Étape 4.3

Résolvez $v$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Étape 4.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{25 t + C_{3}}$ comme $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{25 t}$ et $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Étape 7

Réécrivez l’équation.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Étape 8

Intégrez les deux côtés.

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Étape 8.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Étape 8.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Comme $C_{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $C_{4}$ en dehors de l’intégrale.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Étape 8.3.2

Laissez $u = 25 t$ . Alors $d u = 25 d t$ , donc $\frac{1}{25} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.3.2.1

Laissez $u = 25 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Différenciez $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Étape 8.3.2.1.2

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $25 t$ par rapport à $t$ est $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.4

Multipliez $25$ par $1$ .

$25$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Étape 8.3.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Étape 8.3.4

Comme $\frac{1}{25}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{25}$ en dehors de l’intégrale.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Étape 8.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Étape 8.3.6

Simplifiez

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Étape 8.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Étape 8.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Étape 8.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Étape 8.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$