Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 6 x d x$

Étape 1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = 6 \int x d x$

Étape 1.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$

Étape 1.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.4.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ comme $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{1}$

Étape 1.4.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (3 x^{2} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = 3 \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{2} = x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = x^{3} + C x + D$