Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Étape 1.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Étape 1.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.7

Simplifiez

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Étape 3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$