Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d v} = - \frac{2 v}{u}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u (- \frac{2 v}{u})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$u \frac{d u}{d v} = - u \frac{2 v}{u}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$u \frac{d u}{d v} = - (2 v)$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u \frac{d u}{d v} = - 2 v$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$u d u = - 2 v d v$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int u d u = \int - 2 v d v$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int - 2 v d v$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 \int v d v$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} v^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - v^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = - v^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (- v^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- v^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$u^{2} = 2 (- v^{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u^{2} = - 2 v^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{- 2 v^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v^{2} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 v^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- v^{2}) + 2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$