Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = \frac{t}{3}$ . Alors $d u = \frac{1}{3} d t$ , donc $3 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \frac{t}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$