Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Étape 2.1.3.1.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.1.3.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Étape 2.1.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Étape 2.1.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Étape 2.1.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Étape 2.2

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{2 y}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Étape 2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Étape 3

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Étape 4

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 5

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Séparez les variables.

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Étape 7.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Étape 7.1.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Étape 7.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Étape 7.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

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Étape 7.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Étape 7.1.1.2.2.2

Additionnez $\frac{1}{2 V}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Étape 7.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Étape 7.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7.1.3

Multipliez les deux côtés par $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 7.1.4

Simplifiez

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Étape 7.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Étape 7.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 V$ .

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Étape 7.1.4.2.1

Factorisez $2 V$ à partir de $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Étape 7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Étape 7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’équation.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 7.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.2.3

Multipliez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 7.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Étape 7.3

Résolvez $V$ .

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Étape 7.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 7.3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 7.3.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 7.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 8

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}, - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 9

Résolvez $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$ pour $y$ .

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Étape 9.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 9.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 10

Résolvez $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$ pour $y$ .

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Étape 10.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Étape 10.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 10.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 10.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 10.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Étape 11

Indiquez les solutions.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x, y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$