Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $2 \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{2}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$y = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$