Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C_{1}}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $e^{- x}$ par $0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} v = \int 0 d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $C_{2}$ .

$e^{- x} v = C_{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = C_{2}$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = C_{2}$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Étape 10

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Étape 11

Intégrez les deux côtés.

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Étape 11.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Étape 11.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Étape 11.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

Étape 11.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{- x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez

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Étape 11.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.2.2.1.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 11.3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

Étape 11.3.2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

Étape 11.3.2.2.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

Étape 11.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

Étape 11.3.4

Simplifiez

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

Étape 11.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

Étape 11.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = e^{x} C + D$