Calcul infinitésimal Exemples

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 x y + 2 x^{2} y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y + 2 x^{2} y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y$ .

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y + 2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} y$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x y$ à partir de $2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x y$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x y$ à partir de $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez $x y$ à partir de $x y (2) + x y (2 x)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.1.5

Factorisez $x y$ à partir de $x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.3

Associez les termes opposés dans $2 + 2 x - 2$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.3.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.4

Associez les exposants.

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Étape 4.3.2.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Étape 4.3.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 d x}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ par $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} y$ par $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $x^{2} e^{2 x}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2} e^{2 x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.3

Associez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.4

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 11.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.3

Associez $\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.4.2

Divisez $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ par $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.5

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.6

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.7

Associez $\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ et $x$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.2.8.2

Divisez $e^{2 x} y^{2} x$ par $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 11.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $y^{2} x e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ de $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Étape 12.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{2} e^{2 x}$ et $- y^{2} x e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

Étape 12.1.3.4

Soustrayez $e^{2 x} y^{2} x$ de $e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

Étape 12.1.3.5

Additionnez $3 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $3 e^{2 x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

Étape 13.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

Étape 13.4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 13.4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 13.4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 13.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 13.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 13.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Étape 13.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

Étape 13.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Étape 15.1.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$