Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x - 2} y = {(x - 2)}^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x - 2}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x - 2} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{2}{x - 2}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Étape 1.2.2

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.2.2.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 1.2.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 1.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Étape 1.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$e^{2 \ln (| x - 2 |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x - 2)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{2})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x - 2)}^{2}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x - 2)$

Étape 1.7

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 1.8.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 1.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{2}{x - 2}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.3

Multipliez $x^{2} - 4 x + 4$ par $\frac{2 y}{x - 2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.5.2.4

Divisez $(x - 2) \cdot 2 y$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x - 2) \cdot 2 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 4) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.3

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2))$

Étape 2.4

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 2.6

Développez $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.7.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.7.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.7.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.8

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.9

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.10

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4$

Étape 2.7.11

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 2.8

Soustrayez $4 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 2.9

Additionnez $4 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 2.10

Additionnez $20 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16$

Étape 2.11

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] d x = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} d x + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 \int x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.5

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Étape 6.7

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 32$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 \int x d x + \int 16 d x$

Étape 6.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 16 d x$

Étape 6.9

Appliquez la règle de la constante.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Étape 6.10

Simplifiez

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Étape 6.10.1

Simplifiez

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Étape 6.10.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Étape 6.10.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Étape 6.10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 16 x + C$

Étape 6.10.2

Simplifiez

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Étape 6.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ par $x^{2} - 4 x + 4$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ par $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) y}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.4

Associez.

$y = \frac{x^{5} \cdot 1}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.5

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.6.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.8.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.9.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.11.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.11.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.11.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.11.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 7.3.1.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.3.1.12.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Étape 7.3.1.12.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3.1.12.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Étape 7.3.1.12.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$