Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + e^{2 x}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{x}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Étape 3.6

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{x}$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Étape 3.7.2.4

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ comme $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.3.4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Étape 4.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Étape 4.3.9

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Étape 4.3.10

Simplifiez

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Étape 4.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.1.1.3.2

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Étape 5.4

Factorisez $3$ à partir de $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Étape 5.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Étape 5.4.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Étape 5.4.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Étape 5.4.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$