Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x + 3$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x + 3 |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x + 3 |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x + 3 |$ .

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x + 3 | e^{C}$ .

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

Étape 3.5.4.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x + 3 | + 1$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $y$ par $0$ dans $y = C | x + 3 | + 1$ .

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

Étape 6

Résolvez $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ .

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$C | 2 | + 1 = 0$

Étape 6.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$C \cdot 2 + 1 = 0$

Étape 6.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$2 C + 1 = 0$

Étape 6.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 C = - 1$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $2 C = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $2 C = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{2}$ dans $y = C | x + 3 | + 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez $C$ par $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

Étape 7.2

Associez $| x + 3 |$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

Étape 7.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$