Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

Étape 1.2

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 3$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 3 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 3 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4.3

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.6.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ par $1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.8

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Alors $d u_{1} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.8.1

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.8.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 7.8.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 7.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 7.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.9.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.12

Simplifiez

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Étape 7.12.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.13

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.14

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Alors $d u_{2} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.14.1

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.14.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 7.14.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 7.14.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 7.14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 7.15

Simplifiez

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Étape 7.15.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Étape 7.15.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.17

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7.18

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 7.19

Simplifiez

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Étape 7.19.1

Simplifiez

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.19.2

Simplifiez

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Étape 7.19.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.19.2.2

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.19.2.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.20

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.20.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.20.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Étape 7.21

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Étape 7.22

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Multipliez $- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.1.2

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ dans le numérateur.

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ dans le numérateur.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.6

Associez $2$ et $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.9

Pour écrire $- 2 x e^{- 3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.10

Associez $- 2 x e^{- 3 x}$ et $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.12.1

Factorisez $2 e^{- 3 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ .

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Étape 8.1.12.1.1

Factorisez $2 e^{- 3 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.12.1.2

Factorisez $2 e^{- 3 x}$ à partir de $- 2 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.12.1.3

Factorisez $2 e^{- 3 x}$ à partir de $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.14

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.16

Réécrivez $- (3 x + 1)$ comme $- 1 (3 x + 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.18

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.19

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ par $e^{- 3 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ par $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Associez les fractions.

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Étape 8.2.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.2.3.3.1

Soustrayez $e^{- 3 x}$ de $- 2 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.4.1

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ .

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Étape 8.2.3.4.1.1

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $- 6 x e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.1.2

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.1.3

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.2.2

Divisez $e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ par $1$ .

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.6

Réécrivez $- 1 e^{- 3 x}$ comme $- e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$