Calcul infinitésimal Exemples

$y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ par $y (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ par $y (x + 1)$ .

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{(x + 1) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(x + 1) y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $y^{2} + 1$ à partir de $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 2.3.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 2.3.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 2.3.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 2.3.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 2.3.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x + 2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |) = 2 x + 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 x + 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2})} = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.7.2

Divisez chaque terme dans $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ par ${(x + 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ par ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Divisez $| y^{2} + 1 |$ par $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1$

Étape 3.7.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{2 x + C}$ comme $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x} e^{C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{C} e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C \frac{C e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$