Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $y$ par $4$ dans $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{4}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{8}{3}$ dans $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$