Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ par $N$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ par $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $N$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d N}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun de $N$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez $t e^{t + 2}$ par $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = t + 2$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = t + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$