Calcul infinitésimal Exemples

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.4

Associez $y$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.3.6

Multipliez $\ln (y)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y e^{y}$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

Étape 1.4.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x y e^{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Comme $- y e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y e^{y}$ par rapport à $x$ est $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

Étape 2.3.8

Multipliez $1 - x y e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

Étape 2.4

Soustrayez $x y e^{y}$ de $x (- y e^{y})$ .

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Étape 2.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

Étape 2.4.2

Soustrayez $x y e^{y}$ de $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x y e^{y} + 1$ .

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x y e^{y} + 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $- 2 x y e^{y}$ et $2 e^{y} x y$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Déplacez $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.4.2

Additionnez $- 2 x y e^{y}$ et $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.2.7

Additionnez $2 e^{y} x$ et $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y)$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $2 e^{y} x - \ln (y)$ et $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 e^{y} x$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (y)$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ comme $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ .

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Étape 4.3.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Étape 4.3.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (y)$ .

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $\ln (y) - 2 x e^{y}$ par $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x (1 - x y e^{y})$ par $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1

Déplacez $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.10

Multipliez $x - x^{2} y e^{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.11

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{2} y e^{y}$ .

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Étape 6.11.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.11.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Étape 6.11.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} y e^{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

Étape 6.11.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

Étape 8.3

Comme $- 2 e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2 e^{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.5

Simplifiez

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

Étape 8.6.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\ln (y) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.3.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.3.3

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{y} x^{2}$ par rapport à $y$ est $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 11.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.3.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3.4

Multipliez $- x^{2} (- y e^{y})$ .

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Étape 12.1.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

Étape 12.1.3.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Étape 12.1.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $0$ et $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Étape 12.1.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Étape 12.1.6.2

Divisez $x^{2} e^{y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

Étape 12.1.7

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

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Étape 12.1.7.1

Additionnez $- x^{2} e^{y}$ et $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Étape 12.1.7.2

Additionnez $\frac{d g}{d y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$