Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ comme $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $y$ par $- 5$ dans $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ .

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ .

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

Étape 4.2.4

Évaluez l’exposant.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

Étape 4.2.5

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$K = - 5 + 9$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$K = 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$