Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y - 3$ à partir de $x^{3} (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Étape 3.3.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ comme $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $6$ dans $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ .

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ .

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

Étape 6.2.2

Divisez $0$ par $4$ .

$C e^{0} + 3 = 6$

Étape 6.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 + 3 = 6$

Étape 6.2.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$C + 3 = 6$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$C = 6 - 3$

Étape 6.3.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$C = 3$

Étape 7

Remplacez $C$ par $3$ dans $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$