Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Étape 2.4

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Étape 2.4.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Étape 2.4.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Étape 2.5

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 3.4

Résolvez l’équation pour $r$ .

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Étape 3.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 3.4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 3.4.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 3.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$