Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y - 4 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Additionnez $3 y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Étape 3.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $3 x y - 4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Étape 3.4.8.2

Additionnez $3 x y$ et $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.2

Associez $x$ et $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.3

Associez $\frac{x \cdot 6}{2}$ et $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.5.2.4

Divisez $3 x y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.5.2.7

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 3.5.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 3.5.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Étape 3.5.2.7.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y - 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x y - 2$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x y - 2$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y - 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $x y^{2} - y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $x y^{2} - y$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $2 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y^{2} - y$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $x y^{2} - y$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Étape 6.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | y | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez $x y^{2} - y$ par $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1

Déplacez $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.3.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Déplacez $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ par $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Étape 7.6

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y - 4 x$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Étape 7.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Étape 7.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Étape 7.7

Associez $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ et $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Étape 7.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{x}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{x}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Étape 9.2

Développez $y (3 x y - 4)$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Étape 9.2.2

Déplacez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Étape 9.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Étape 9.2.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Étape 9.2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Étape 9.3.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Étape 9.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Étape 9.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Étape 9.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Étape 9.5

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Étape 9.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Étape 9.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Étape 9.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Étape 9.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Étape 9.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Étape 9.11

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Étape 9.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

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Étape 12.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{x}{2}$ et $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{3} - 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.4

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.6

Comme $- 2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.9

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.10

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.11

Associez $\frac{x}{2}$ et $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.12

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.13

Pour écrire $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.14

Associez $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.16

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.18

Multipliez $x y^{3} - 2 y^{2}$ par $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.3.19

Additionnez $x y^{3}$ et $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Associez des termes.

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Étape 12.5.1.1

Pour écrire $\frac{d g}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.2

Associez $\frac{d g}{d x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5

Annulez le facteur commun à $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ et $2$ .

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Étape 12.5.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.1.5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.1.5.6.4

Divisez $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Étape 12.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

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Étape 13.1.3.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Étape 13.1.3.2

Additionnez $x y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Étape 13.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{3}$ et $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 14

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 14.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 14.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3

Multipliez $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

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Étape 16.3.1

Associez $x$ et $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.3.6

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Étape 16.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Étape 16.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Étape 16.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$