Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + y^{3} \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

Étape 1.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ .

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Étape 5.3

Comme $3 \sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 \sin (x)$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

Étape 5.6.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $\sin (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Étape 5.6.3.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sin (x) y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y^{3} \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $y^{3} \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $y^{3} \cos (x)$ de $y^{3} \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$