Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ par $1 + \cos (2 x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ par $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + \cos (2 x)$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.6

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (x)$ en $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour transformer $1$ en $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Soustrayez ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Étape 2.3.8.2

Additionnez ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ et ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Étape 2.3.8.3

Additionnez $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ et $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.9

Multiplier l’argument par $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.10

Associez.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.11

Multipliez ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.12

Réécrivez $\sec (\frac{u}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Étape 2.3.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Étape 2.3.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Étape 2.3.15

Multipliez $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Étape 2.3.15.1

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.15.2

Associez $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ et $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Étape 2.3.16

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.17

Réécrivez $\sec (\frac{u}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.18

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.19

Associez.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Étape 2.3.20

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Étape 2.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Étape 2.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.22

Multipliez par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Étape 2.3.23

Séparez les fractions.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Étape 2.3.24

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ à $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Étape 2.3.25

Associez les fractions.

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Étape 2.3.25.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Étape 2.3.25.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.26

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Étape 2.3.27

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.27.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.27.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Étape 2.3.27.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.27.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.27.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.3.27.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.28

Simplifiez

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Étape 2.3.28.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Étape 2.3.28.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Étape 2.3.28.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.29

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Étape 2.3.30

Simplifiez

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Étape 2.3.30.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.30.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.30.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.30.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.30.3

Multipliez $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.31

Comme la dérivée de $\tan (u_{2})$ est $\sec^{2} (u_{2})$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u_{2})$ est $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.32

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.32.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.32.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.33

Simplifiez

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Étape 2.3.33.1

Réduisez l’expression $\frac{2 x}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.33.1.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.33.1.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Étape 2.3.33.2

Divisez $x$ par $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $\frac{π}{4}$ et $y$ par $1$ dans $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$1 + K = 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$K = 0$

Étape 5

Remplacez $K$ par $0$ dans $y = \tan (x) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $0$ .

$y = \tan (x) + 0$

Étape 5.2

Additionnez $\tan (x)$ et $0$ .

$y = \tan (x)$