Calcul infinitésimal Exemples

$(y e^{x y} + 2 x - 1) d x + (x e^{x y} - 2 y + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y e^{x y} + 2 x - 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y} + 2 x - 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{x y} + 2 x - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.7

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Étape 1.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y} - 2 y + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x y} - 2 y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.7

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Additionnez $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Étape 2.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x y e^{x y} + e^{x y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $x y e^{x y} + e^{x y}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x y} - 2 y + 1 d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.3

Laissez $u = x y$ . Alors $d u = x d y$ , donc $\frac{1}{x} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.3.1

Laissez $u = x y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.3.1.1

Différenciez $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Étape 5.3.1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x$

Étape 5.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.5

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{x}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x (\frac{1}{x} \int e^{u} d u) + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.6.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 y d y + \int d y$

Étape 5.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 \int y d y + \int d y$

Étape 5.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

Étape 5.10

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

Étape 5.12

Simplifiez

$f (x, y) = e^{u} - y^{2} + y + C$

Étape 5.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y} - y^{2} + y + g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

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Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 8.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{x y} y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.4.1

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.4.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Associez des termes.

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Étape 8.6.1.1

Additionnez $e^{x y} y$ et $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.6.1.2

Additionnez $e^{x y} y$ et $0$ .

$e^{x y} y + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y} y = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 8.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + e^{x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{x y} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y e^{x y}$ de $y e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1 + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x - 1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 1 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 1 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Étape 10.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = x^{2} - x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + x^{2} - x + C$